那个乘积是个什么鬼?想学量子力学,弄懂薛定

发布时间:2020-03-23 编辑:西极电力网

老郭最近几篇文章都与不确定原理、概率解释、测量有关。您可能发现了,内容中没有玄幻,一直在谈量子力学的可观测性,谈各种基本概念构建的过程,我管这叫做接地气、很物理。不过要想学会量子力学,光理解概念还不够,还要掌握其特有的数学方法。

这就是本文想与您讲述的量子力学的数学语言——矩阵。酝酿这段文字的时候,我犹豫过,上来就提矩阵会不会吓跑很多的小伙伴。对于很多朋友们来说,矩阵是一门很陌生的数学,尤其是国内物理系学生(包括我在内),在刚接触量子力学的时候,都是从波动力学(薛定谔方程)开始的。

用矩阵来描述量子力学是一个自然而然的过程,是物理学家们在探索微观粒子的行为过程中,为了描述粒子的运动状态,在粒子的位置、动量等与可观测物理量之间建立联系而找到的一种方法。我们先来回顾一下这个过程。

前文《 这很物理,既然不确定,为什么还说量子力学是精确的? 》中,在讨论如何观测电子在原子核外运动的时候提到,,按照氢原子轨道模型,可以把原子内核外电子的周期性运动展开成变异傅里叶级数,得到频率和振幅。

频率和振幅是在实验中可以观测到的物理量。如果这种变异的傅里叶级数展开是可能的,那么两个轨道的乘积满足一个很奇怪的求和规律。我在文章末尾留了一个提问——这些乘积是个什么鬼?现在答案来了——这些乘积就是矩阵。

量子力学不是一门直观的物理理论。不知道有多少小伙伴跟我一样,刚开始接触量子力学的时候,花费了大量的精力去理解波函数的物理意义。虽然波动力学用函数的方法,可以与经典物理对照学习,但这不利于进行量子力学的实验研究,因为没办法进行实验测量。

但矩阵力学则不同,它是一种非常直观的表达方式。只要我们采用直接可以观测到的光的波长和强度作为基本的物理量,抛弃不可观测的电子轨道,那么矩阵就是描述量子力学的最好工具。当然了,后来科学家们证明了波动力学与矩阵力学是完全等价的。

写到这里,小伙伴们应该明白了吧,波动力学的表达方式对应的是经典力学的函数方法,而矩阵力学才是量子力学全部的数学意义所在。要学习量子力学,掌握矩阵是非常重要的。

大家不要对矩阵有惧怕心理,其实真理永远都是朴素的,矩阵不过是一堆数放在一堆整齐的格子内而已。我们的生活中到处都有矩阵的例子。比如我所住的楼有5层,每层有8个住户。那么这就是一个5乘8的矩阵,而每个住户内的人口数,就可以看做是矩阵元。

对于一个n阶矩阵M有特征方程f(x)=det[M-IX]=0,这个特征方程是一个n次多项式方程f(x)=0,根据代数基本定理我们可以知道,n次多项式方程具有n个解,这n个解被称为矩阵M的特征值。当我们用矩阵M来表示一个物理系统的能量时,这n个解对应的正是这个物理系统的能级

由于这是一篇介绍量子力学的文章,所以没有对矩阵数学做过多的介绍,想深入了解矩阵的小伙伴可以随便找一本线性代数书,我相信大家都能学会。

通过本文需要了解的是,量子力学之所以显得与经典力学格格不入,不仅仅是因为微观粒子无法直接观测,而是因为其放弃了经典物理学中用函数来描述物质运动的方法,采用了矩阵这种能够与可观测物理量相对应的数学工具。

正是由于这样的转变,使得我们需要用全新的抽象思维方式来理解微观物质的运动规律,我们要牢记一点,这样的转变是基于对物理量的可观测性带来的结果。这也充分说明了,量子力学是一门在实验基础上建立起来的科学,而不是一种纯粹的数学思辨。

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